Nacido en Linares, Jaén, el 8 de agosto de 1947, Blesa estudió Derecho en la Universidad de Granada, en 1978 ingresó en el Cuerpo de Inspectores Financiero y Tributarios del Estado, obteniendo el primer destino en la delegación de Hacienda de Logroño. Allí compartió varios años de convivencia con José María Aznar, con quien forjó una estrecha amistad, que algunos consideraron clave para que Blesa llegara en 1996 a la presidencia de Caja Madrid, la segunda caja del país y la cuarta entidad financiera.

Pero antes de eso, en mayo de 1979 fue nombrado secretario del Gabinete Técnico del Ministerio de Hacienda, pasando posteriormente a ejercer el cargo de jefe del Servicio de Tributos de las Comunidades Autónomas (1981-1983). Fue subdirector general de Estudios y Coordinación del Ministerio de Economía y Hacienda desde febrero de 1983 a mayo de 1986, en la etapa del socialista Miguel Boyer. Por esta época fue también miembro del Comité de Expertos de Haciendas Locales del Consejo de Europa y profesor de diversos cursos sobre tributación.

En 1986 dejó la Inspección del Estado y abrió un despacho especializado en Derecho Tributario, «Blesa, Colmenar y Guío», con el que obtuvo un notable éxito. En 1993 entró en el consejo de administración de Caja Madrid y el 11 de septiembre de 1996, con 14 votos a favor y ninguno en contra, fue nombrado presidente de la caja en sustitución de Jaime Terceiro.

Desde 1996 hasta 2003 dobló la dimensión de Caja de Madrid. Sin embargo, con la llegada de la crisis económica salió a la luz la cara oculta de la entidad, con unas pérdidas cuantiosas por el negocio inmobiliario, que, unida a una gestión igualmente ruinosa en Bancaja, puso los cimientos de la intervención pública con 22.400 millones de Bankia, el banco cofundado por esas dos entidades y otras cinco cajas menores.

A la situación de crisis general se sumó en 2008 la presión por el control político de la entidad entre la Comunidad y el Ayuntamiento de Madrid, ambos gobernados por el PP, con Esperanza Aguirre y Alberto Ruiz Gallardón, respectivamente, que se saldó con un acuerdo para sustituirle por Rodrigo Rato el 28 de enero de 2010, que pilotó el nacimiento de Bankia.

Desde su retiro dorado, Blesa asumía estoicamente, como comentó en más de una ocasión a Efe, las demandas que se presentaban contra él, entre ellas una por la concesión supuestamente fraudulenta de un préstamo de 26,6 millones de euros al entonces presidente de la CEOE Gerardo Díaz Ferrán para su aerolínea, Air Comet. Pero también la demanda por supuestas irregularidades en la compra del City National Bank of Florida, por la que en mayo de 2013 el juez Elpidio José Silva ordenó su ingreso en prisión, de donde salió un día después tras pagar un fianza de 2,5 millones.

El 5 de junio volvió a entrar en la cárcel por orden del mismo juez en base a nuevas pruebas, decisión que fue avalada por la Audiencia Provincial de Madrid el 14 de junio, aunque cinco días más tarde este tribunal anuló la investigación del juez Silva por convertir la concesión del crédito de 26,6 millones a Marsans en una «causa general» contra Blesa. A lo largo de su carrera profesional fue consejero independiente de ACS (2003-2005), de FCC, de Telemadrid, de Endesa, de Antena 3 TV, de Grupo Dragados y vicepresidente de Iberia. Blesa fue coautor de varias obras sobre impuestos y tributación y, entre otros galardones, recibió la Medalla de Oro de la Real Academia de la Historia y el premio al Mejor Presidente de Entidad Financiera 2005, concedido por la revista económica Banca 15.